定义：最大公因数（greatest common divisor，GCD）是某几个数所能公有的最大正因数。
求解方法
求解最大公因数的方法有很多，下面介绍三种常用的方法：
辗转相除法
- 将两个数中较大的那一个除以较小的那个，得到商和余数。
- 将余数除以商，再得到一个商和余数。
- 重复步骤 2，直到余数为 0。
- 最后一个非零余数就是最大公因数。
更相减损法
- 将两个数中较大的那一个减去较小的那个。
- 将较小的那个数减去上一步得到的差。
- 重复步骤 2，直到差为 0。
- 最后一个非零差就是最大公因数。
质因数分解法
- 将两个数都分解成质因数。
- 找出公共的质因数。
- 将公共质因数相乘，就得到最大公因数。
例子
已知 a ÷ b = 0，求 a 和 b 的最大公因数。
解答：
因为 a ÷ b = 0，所以 a = kb（k 为整数）。
将 a 和 b 代入更相减损法中：
kb - b = b(k -1) b(k - 1) - b = b(k - 1 - 1) b(k - 1 - 1) - b = b(k - 1 - 1 - 1) ...不断相减，直到差为 0，即可得到 a 和 b 的最大公因数 b。
因此，a 和 b 的最大公因数为 b。
如果 a ÷ b = 5，求 a 和 b 的最大公因数
已知 a ÷ b = 5，求 a 和 b 的最大公因数。
解答：
因为 a ÷ b = 5，所以 a = 5b。
将 a 和 b 代入质因数分解法中：
a = 5b = 5 bb 只有一个质因数 b，所以 a 和 b 的最大公因数为 b。
代码实现
下面是使用 JavaScript 实现最大公因数计算的代码：
function gcd(a, b) {if (b === 0) {return a;} else {return gcd(b, a % b);}
}
练习题
- 求解 12 和 18 的最大公因数。
- 求解 36 和 60 的最大公因数。
- 已知 a ÷ b = 3，求 a 和 b 的最大公因数。
答案
- 6
- 12
- b
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